Question

已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量

m

=（2cos²

A

2

，1），

n

=（3，cos2A），

m

•

n

=4．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b-c=1，a=3，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,三角形的面积公式

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）运用向量的数量积坐标公式以及二倍角的余弦公式，化简即可求得cosA，进而得到A；
（Ⅱ）运用三角形的余弦定理和面积公式，即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）由于向量

m

=（2cos²

A

2

，1），

n

=（3，cos2A），

m

•

n

=4．
即有6cos2

A

2

+cos2A=4，
即3（1+cosA）+2cos²A-1=4，
即有2cos²A+3cosA-2=0
则cosA=

1

2

，A为三角形的内角，
则A=

π

3

；
（Ⅱ）由余弦定理得，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

(b-c)2+2bc-a2

2bc

，
由于b-c=1，a=3，
则

1

2

=

1+2bc-9

2bc

即有bc=8
故△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=2

3

．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标公式和三角函数的恒等变换公式，考查余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．