Question

11．已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x²+y²-2x-2y+1=0的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是（　　）

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $4\sqrt{2}$
• C． 6
• D． 不存在

Answer 1

分析 由圆的方程求得圆心C，半径r，“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后将四边形面积转化为两个直角三角形面积求解．

解答 解：由x²+y²-2x-2y+1=0，得（x-1）²+（y-1）²=1，
∴圆心C（1，1），半径r=1．
根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小．
∵圆心到直线的距离为d=$\frac{|3+4+8|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=3$，
∴PA=PB=$\sqrt{{d}^{2}-{r}^{2}}=2\sqrt{2}$．
故四边形PACB面积的最小值为 2S_△PAC=2×$\frac{1}{2}$×PA×r=$2\sqrt{2}$，
故选：A．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是明确：“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小”，属于中档题．