Question

1．ABC 是边长为6的等边三角形，P 为空间一点，PA=PB=PC，P到平面ABC距离为$\sqrt{3}$，则 PA与平面ABC 所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 画出图形，过P作底面ABC 的垂线，垂足为O，连接AO并延长交BC于E，说明∠PAO为所求，然后再通过求三角形PAO的边长即可求出答案．

解答 解：过P作底面ABC 的垂线，垂足为O，连接AO并延长交BC于E，
因为P为边长为6的正三角形ABC所在平面外一点且PA=PB=PC，P到平面ABC距离为$\sqrt{3}$，
所以O是三角形ABC 的中心，
且∠PAO就是PA与平面ABC所成的角，
∵AO=$\frac{2}{3}$AE=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×6$=2$\sqrt{3}$．
且PCA=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∴sin∠PAO=$\frac{PO}{PA}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
即PC与平面ABC所成的角正弦函数值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$

点评 本题考查三垂线定理，点、线、面间的距离，直线与平面所成角的求法，考查学生计算能力，逻辑思维能力，是中档题．