Question

6．若关于的方程$\sqrt{4-{x^2}}-kx+2k-3=0$有且只有一个实数根，则实数k的取值范围为0＜k＜$\frac{3}{4}$或k=$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 根据方程的根与对应函数的零点的关系，我们可用图象法解答本题，即关于x的方程$\sqrt{4-{x^2}}-kx+2k-3=0$有且只有一个实数根，则函数y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$的图象与y=kx+3-2k的图象有且只有1个交点，在同一坐标系中画出函数y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$的图象与y=kx+3-2k的图象，分析图象即可得到答案．

解答 解：若关于x的方程$\sqrt{4-{x^2}}-kx+2k-3=0$有且只有一个实数根，
则函数y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$的图象与y=kx+3-2k的图象有且只有1个交点
∵函数y=kx+3-2k的图象恒过（2，3）点
故在同一坐标系中画出函数y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$的图象与y=kx+3-2k的图象如下图所示：

由图可知
当k=$\frac{5}{12}$时，直线与圆相切，
当k=$\frac{3}{4}$时，直线过半圆的左端点（-2，0）
若函数y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$的图象与y=kx+3-2k的图象有且只有1个交点，则0＜k＜$\frac{3}{4}$或k=$\frac{5}{12}$
故答案为：0＜k＜$\frac{3}{4}$或k=$\frac{5}{12}$．

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，方程的根与函数零点的关系，函数的图象，其中在确定无法解答的方程问题时，将其转化为确定对应函数的零点，利用图象法解答是最常用的方法．