Question

数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2且满足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求S_n；
（3）设b_n=

1

n(12-an)

（n∈N^*），T_n=b₁+b₂+…+b_n，是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N^*，都有T_n＞

m

8060

成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意数列{a_n}的公差d=

a4-a1

4-1

=-2，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由a_n=-2n+10≥0得，n≤5，由此利用分类讨论思想能求出Sn=

-n2+9n，n≤5 n2-9n+40，n＞5

．
（3）由bn=

1

n(12-an)

=

1

n(2+2n)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂项求和法得到T_n=

1

2

(1-

1

n+1

)=

n

2(n+1)

，要使Tn＞

m

8060

恒成立，只须T_n的最小值恒大于

m

8060

，由此能求出m=2014．

解答： 解：（1）由题意知，设数列{a_n}的公差d，
则d=

a4-a1

4-1

=-2，
∴数列{a_n}的通项公式为：
a_n=a₁+（n-1）d=-2n+10
（2）由a_n=-2n+10≥0得，n≤5
∴当n≤5时，Sn=

(a1+an)n

2

=-n2+9n
当n＞5时，

Sn=|a1|+|a2|+…+|a5|+|a6|+…+|an|=a1+a2+…+a5-a6-…-an =n2-9n+40

∴Sn=

-n2+9n，n≤5 n2-9n+40，n＞5

．
（3）由（1）知bn=

1

n(12-an)

=

1

n(2+2n)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)
∴Tn=b1+b2+…+bn=

1

2

(1-

1

2

)+

1

2

(

1

2

-

1

3

)+…+

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)
=

1

2

(1-

1

n+1

)=

n

2(n+1)

要使Tn＞

m

8060

恒成立，
只须T_n的最小值恒大于

m

8060

，而T_n的最小值为

1

4

∴由

1

4

＞

m

8060

得，m＜2015，
∴存在最大的整数2014，使Tn＞

m

8060

恒成立，
∴m=2014．

点评：本题考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和裂项求和法的合理运用．