Question

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=

25

4

，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．
（1）试讨论直线l与圆C的位置关系，并叙述理由；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）首先求出直线恒过的定点P（3，1），然后利用点与点的距离与半径比较来判定直线l与圆C的位置关系：相交
（2）直线被圆C截得的弦长最小时l的方程：过P（3，1）垂直于经过圆心的直线．然后利用直线垂直的充要条件求得直线的斜率，进一步利用点斜式求得直线方程．

解答： 解：（1）圆C：（x-1）²+（y-2）²=

25

4

则：圆心C（1，2）R=

5

2

直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．
2mx+x+my+y-7m-4=0（m∈R）

2x+y-7=0 x+y-4=0

解得：

x=3 y=1

即直线l恒过定点P（3，1）
则：CP=

(3-1)2+(1-2)2

=

5

＜

5

2

（2）由（1）得直线L恒过定点P（3，1），直线被圆C截得的弦长最小的直线是：过P（3，1）垂直于经过圆心的直线．
则k1=

2-1

1-3

=-

1

2

由于：直线与直线的垂直
∴k₁•k₂=-1
解得：k₂=2
∴直线被圆C截得的弦长最小时l的方程：y-1=2（x-3）
即：2x-y-5=0
故答案为：（1）相交
（2）2x-y-5=0

点评：本题考查的知识点：圆的标准方程，恒过定点的直线方程，利用点与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系，直线垂直的充要条件，恒过圆内一定点且被圆所截的最短弦的直线方程，直线点斜式的应用及相关的运算问题．