Question

已知函数f（x）=2x²+3（a²+a）lnx-8ax．
（Ⅰ）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=32x-62平行，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在其导函数f′（x）的单调区间上也是单调的，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）对函数f（x）=2x²+3（a²+a）lnx-8ax求导．因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=32x-62平行，则切线的斜率k=32．由此能求出实数a；
（Ⅱ）求导函数f′（x）=

4x2-8ax+3(a2+a)

x

（x＞0），构造新函数g（x）=4x²-8ax+3（a²+a），设g（x）=0的两根x₁，x₂（x₁＜x₂），分类讨论，通过比较根的关系，根据f（x）在f′（x）的单调区间上也是单调的，即可确定实数a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）由于函数f（x）=2x²+3（a²+a）lnx-8ax，则f′（x）=4x+3（a²+a）•

1

x

-8a．
因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=32x-62平行，
则切线的斜率k=32，即3a²-5a-28=0，解得或a=-

7

3

．
而当a=-

7

3

时，切线与y=32x-62平行，符合题意
当a=4时，切线为y=32x-62重合，不合条件，舍去
故a=-

7

3

．                    
（Ⅱ）f′（x）=4x+3（a²+a）•

1

x

-8a=

4x2-8ax+3(a2+a)

x

，
设g（x）=4x²-8ax+3（a²+a），△=16（a²-3a），
设g（x）=0的两根为x₁，x₂（x₁＜x₂）
（1）当△≤0即0≤a≤3时，f′（x）≥0，∴f（x）单调递增，满足题意；
（2）当△＞0即a＜0或a＞3时，
①若x₁＜0＜x₂，则

3

4

（a²+a）＜0，即-1＜a＜0，
此时，f（x）在（0，x₂）上单调递减，在（x₂，+∞）上单调递增，
而f′（x）在（0，+∞）上单调递增，故不满足题意              
②若x₁＜x₂≤0，则

2a＜0 3 4 (a2+a)≥0

 解得a≤-1，
此时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，满足题意         
③若0＜x₁＜x₂，则

2a＞0 3 4 (a2+a)＞0

  解得a＞0，
此时，f（x）在（0，x₁ ）上单调递增，（x₁，x₂）上单调递减，在（x₂，+∞）上单调递增，故不满足题意          
综上得a的取值范围为（-∞，-1]∪[0，3]．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．