题目内容

4．在三棱锥P-ABC中，BC=3，CA=4，AB=5，若三个侧面与底面ABC所成二面角均为60°，则三棱锥的体积是2$\sqrt{3}$．

分析 求出底面是以3、4为直角边，斜边为5的直角三角形，得到底面内切圆的半径．再由二面角，可得三棱锥的高，即可求解棱锥的体积．

解答 解：∵底面三角形三边为3、4、5，
∴底面是以3、4为直角边，斜边为5的直角三角形，内切圆的半径为：$\frac{3+4-5}{2}$=1．
∵三棱锥各侧面与底面所成的二面角均为60°，
∴根据平面与平面所成角的性质，可得tan60°=$\frac{h}{r}$，由此可得此三棱锥的高为：$\sqrt{3}$．
三棱锥的体积是：$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×4×\sqrt{3}$=$2\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题给出三棱锥的底面与每个侧面所成角均为60°，在已知底面形状的情况下求它的体积．着重考查了直角三角形的判定和平面与平面所成角的性质等知识，属于中档题．

练习册系列答案
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A．3B．$\frac{1}{3}$C．-$\frac{1}{3}$D．-3
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A．{2}B．{2，3}C．{3}D．{1，3}
16．使奇函数$f（x）=\sqrt{3}sin（2x+θ）+cos（2x+θ）$在$[0，\frac{π}{4}]$上为增函数的θ值为（　　）
A．$-\frac{π}{3}$B．$-\frac{π}{6}$C．$\frac{5π}{6}$D．$\frac{2π}{3}$
13．下列说法正确的是③④⑤（填上所有正确说法的序号）
①残差平方和越大的模型，拟合效果越好；②用相关指数R2来刻画回归效果时，R2越小，说明模型的拟合效果越好；③在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高．
④一个样本的方差${s^2}=\frac{1}{20}[{{{（{{x_1}-3}）}^2}+{{（{{x_2}-3}）}^2}+…{{（{{x_n}-3}）}^2}}]$，则这组数据等总和等于60；
⑤数据a1，a2，a3，…，an的方差为σ2，则数据2a1+1，2a2+1，…2an+1的方差为4σ2．
14．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2-2x+3，则f（-1）=（　　）
A．2B．6C．-2D．-6

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