Question

7．函数y=cos²x+2sinx在区间[-$\frac{π}{6}$，θ]上的最小值为-$\frac{1}{4}$，则θ的取值范围是[$-\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}$]．

Answer 1

分析 利用平方关系化为关于sinx的一元二次方程，配方后由最小值为-$\frac{1}{4}$，可得sinx=-$\frac{1}{2}$，再结合x∈[-$\frac{π}{6}$，θ]求得θ的范围．

解答 解：y=cos²x+2sinx=-sin²x+2sinx+1=-（sinx-1）²+2．
∵函数y=cos²x+2sinx在区间[-$\frac{π}{6}$，θ]上的最小值为-$\frac{1}{4}$，
∴-（sinx-1）²的最小值为$-\frac{9}{4}$，
∴（sinx-1）²的最大值为$\frac{9}{4}$，则sinx=-$\frac{1}{2}$，
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，θ]，
∴θ∈[$-\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}$]．
故答案为：[$-\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}$]．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．