Question

广州某商场根据以往某种商品的销售记录，绘制了日销售量的频率分布表（如表）和频率分布直方图（如图）． 

分组	频数	频率
[0，50]	n1	0.15
（50，100]	n2	0.25
（100，150]	n3	0.30
（150，200]	n4	0.20
（200，250]	n5	0.10

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
（1）求a₁，a₃的值．
（2）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50个的概率；
（3）用X表示在未来3天里日销售量高于100个的天数，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）由频率分布直方图，能求出a₁，a₃的值．
（2）设A₁表示事件“日销售量高于100个”，A₂表示事件“日销售量不高于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量高于100个且另1天销售量不高于50个”，由此能求出结果．
（3）X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，0.6），由此能求出X的分布列和EX．

解答： （本小题满分12分）
（1）解：由频率分布直方图，得：
a1=

0.10

50

=0.002，a3=

0.20

50

=0.004．…（2分）
（2）解：设A₁表示事件“日销售量高于100个”，A₂表示事件“日销售量不高于50个”，
B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量高于100个且另1天销售量不高于50个”．
P（A₁）=0.30+0.20+0.10=0.6，P（A₂）=0.15，
故所求概率：P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108．…（5分）
（3）解：依题意，X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，0.6）．…（6分）
P（X=0）=

C

0 3

•(1-0.6)3=0.064，
P（X=1）=

C

1 3

×0.6×(1-0.6)2=0.288，
P（X=2）=

C

2 3

×0.62×(1-0.6)=0.432，
P（X=3）=

C

3 3

×0.63=0.216，…（10分）
∴X的分布列为

X	0	1	2	3
P	0.064	0.288	0.432	0.216

…（11分）
∴EX=3×0.6=1.8．…（12分）

点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．