Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n，且满足S_n=2a_n-2．（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项a_n．
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂a_n，T_n为数列{

bn

an

}的前n项和，求证T_n≥

1

2

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由于满足S_n=2a_n-2．（n∈N^*），可得当n=1时，a₁=2a₁-2，解得a₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为a_n=2a_n-1，利用等比数列的定义与通项公式即可得出．
（2）b_n=log₂a_n=log22n=n．可得

bn

an

=

n

2n

．利用“错位相减法”即可得出．

解答： （1）解：∵满足S_n=2a_n-2．（n∈N^*），
∴当n=1时，a₁=2a₁-2，解得a₁=2；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），化为a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}的通项a_n是等比数列，
∴an=2n．
（2）证明：b_n=log₂a_n=log22n=n．
∴

bn

an

=

n

2n

．
∴数列{

bn

an

}的前n项和T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，
∴

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，
∴

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴T_n=2-

2+n

2n

．
∵

2+n

2n

＞

3+n

2n+1

，
∴T_n≥T₁=

1

2

．

点评：本题考查了比数列的通项公式与前n项和公式、“错位相减”、对数的运算性质、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．