Question

已知f（x）=x+lg

x

2-x

．
（1）求定义域；
（2）求f（x）+f（2-x）的值；
（3）猜想f（x）的图象具有怎样的对称性，并证明．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对数函数的定义可以求出其定义域，
（2）利用对数的性质，计算即可．
（3）因为当x=1时，y=1，故猜想对称点为（1，1），然后再根据对称的性质证明即可．

解答： 解：（1）由题意得，x（2-x）＞0，
解得0＜x＜2，
∴函数f（x）的定义域为（0，2）．
（2）∵f（x）=x+lg

x

2-x

，
∴f（x）+f（2-x）=x+lg

x

2-x

+2-x+lg

2-x

x

=2+lg

x

2-x

•

2-x

x

=2．
（3）关于点P（1，1）对称  
证明：设Q（x，y）为函数图象上的任一点，
若Q点关于点P的对称点为Q₁（x₁，y₁），
则

x+x1=2 y+y1=2

，即

x1=2-x y1=2-y

，
∴f（x₁）=x₁+lg

x1

2-x1

=2-x+lg

2-x

x

=2-x-lg

x

2-x

=2-y=y₁，
函数y=f（x）的图象关于点P（1，1）对称

点评：本题主要考查对数函数的定义和对数的运算，以及图象的对称问题，属于中档题．