Question

已知函数f（x）=ax³-3x²+1，若f（x）存在唯一的零点x₀，且x₀＞0．则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数零点的判定定理

专题：导数的综合应用

分析：分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，求出函数的导数，利用导数和极值之间的关系转化为求极小值f（

2

a

）＞0，解出即可．

解答： 解：当a=0时，f（x）=-3x²+1=0，解得x=±

3

3

，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；
当a＞0时，令f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-

2

a

）=0，解得x=0或x=

2

a

＞0，列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0， 2 a ）	2 a	（ 2 a ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

∵x→-∞，f（x）→-∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x₀，且x₀＞0，应舍去．
当a＜0时，f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-

2

a

）=0，解得x=0或x=

2

a

＜0，列表如下：

x	（-∞， 2 a ）	2 a	（ 2 a ，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→-∞，∴存在x₀＞0，使得f（x₀）=0，
∵f（x）存在唯一的零点x₀，且x₀＞0，∴极小值f（

2

a

）=a（

2

a

）³-3（

2

a

）²+1＞0，
化为a²＞4，
∵a＜0，∴a＜-2．
综上可知：a的取值范围是（-∞，-2）．
故答案为：（-∞，-2）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．