Question

14．设向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$满足$|{\overrightarrow a}|=\sqrt{3}$，$|{\overrightarrow b}|=3\sqrt{3}$，若向量$\overrightarrow a在\overrightarrow b$方向上的投影为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且向量$\overrightarrow a-\overrightarrow c$与向量$\overrightarrow b-\overrightarrow c$的夹角为120°，则$|{\overrightarrow c}$|的最大值等于$2\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根据条件容易求出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为60°，然后作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，结合条件从而得出∠AOB=60°，∠ACB=120°，这便说明A，O，B，C四点共圆，从而可知OC为圆的直径时$|\overrightarrow{c}|$最大，可设OC=c，结合图形及条件即可表示出cos∠AOC，cos∠BOC，sin∠AOC，sin∠BOC，而∠AOC+∠BOC=60°，这样根据两角和的余弦公式即可得出关于c²的方程，解出c²，从而便得出$|\overrightarrow{c}|$的最大值．

解答 解：根据条件：
$|\overrightarrow{a}|•cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\sqrt{3}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{1}{2}$；
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=60°$；
如图，作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，则∠AOB=60°，∠ACB=120°；

∴A，O，B，C四点共圆；
∴OC为圆的直径时，$|\overrightarrow{c}|$最大；
设OC=c，则$BC=\sqrt{{c}^{2}-27}，AC=\sqrt{{c}^{2}-3}$；
∴$cos∠AOC=\frac{\sqrt{3}}{c}，cos∠BOC=\frac{3\sqrt{3}}{c}$，$sin∠AOC=\frac{\sqrt{{c}^{2}-3}}{c}，sin∠BOC=\frac{\sqrt{{c}^{2}-27}}{c}$；
∴cos60°=cos（∠AOC+∠BOC）=$\frac{9}{{c}^{2}}-\frac{\sqrt{{c}^{2}-3}\sqrt{{c}^{2}-27}}{{c}^{2}}$=$\frac{1}{2}$；
解得c²=28；
∴$c=2\sqrt{7}$；
即$|\overrightarrow{c}|$的最大值等于$2\sqrt{7}$．
故答案为：$2\sqrt{7}$．

点评 考查投影的定义及计算公式，向量减法的几何意义，四点共圆的概念，以及两角和的余弦公式，三角函数的定义．