Question

已知椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的左顶点为A₁，右焦点为F₂，点P为椭圆上的一点，则当

PA1

•

PF2

取最小值时，求|

PA1

+

PF2

|的值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的左顶点为A₁（-2，0），右焦点为F₂（1，0），由点P为椭圆上的一点，可设P（x，y），则y²=3(1-

x2

4

)，-2≤x≤2．可得

PA1

•

PF2

=

1

4

(x+2)2≥0，即可得出当x=-2时，

PA1

•

PF2

取得最小值0，此时P（-2，0）．

解答： 解：由椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的左顶点为A₁（-2，0），右焦点为F₂（1，0），
由点P为椭圆上的一点，可设P（x，y），则y²=3(1-

x2

4

)，-2≤x≤2．

PA1

•

PF2

=（-2-x，-y）•（1-x，-y）=（x+2）（x-1）+y²=x²+x-2+3(1-

x2

4

)=

1

4

(x+2)2≥0，
当x=-2时，

PA1

•

PF2

取得最小值0，此时P（-2，0）．
∴

PA1

+

PF2

=（0，0）+（3，0）=（3，0）．
∴|

PA1

+

PF2

|=3．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算、二次函数的单调性、向量的模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．