Question

2．如图，圆锥的高PO=$\sqrt{2}$，底面⊙O的直径AB=2，C是圆上一点，且∠CAB=30°，D为AC的中点，则点B到平面PAC的距离（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 由已知易得AC⊥OD，AC⊥PO，可证面POD⊥平面PAC，由平面垂直的性质考虑在平面POD中过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC，在Rt△OHC中，求得OH，点B到平面PAC的距离等于2OH，即可求解．

解答 解：因为OA=OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD，
又PO⊥底面⊙O，AC?底面⊙O，
所以AC⊥PO，而OD，PO是平面内的两条相交直线
所以AC⊥平面POD，又AC?平面PAC
所以平面POD⊥平面PAC
在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC
在Rt△ODA中，OD=DA•sin30=$\frac{1}{2}$
在Rt△POD中，OH=$\frac{\sqrt{2}×\frac{1}{2}}{\sqrt{2+\frac{1}{4}}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，
点B到平面PAC的距离等于2OH=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故选；B

点评 题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用，空间距离的求解，考查了运算推理的能力及空间想象的能力．属于中档题．