Question

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若$a+\sqrt{2}b=2c$，则cosC的最小值为$\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}$．

Answer 1

分析 由已知余弦定理得cosC═$\frac{\frac{3}{4}{a}^{2}+\frac{{b}^{2}}{2}}{2ab}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，由此利用基本事等式能求出cosC的最小值．

解答 解：∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，$a+\sqrt{2}b=2c$，
∴c²=$\frac{{a}^{2}+2{b}^{2}+2\sqrt{2}ab}{4}$，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-\frac{{a}^{2}+2{b}^{2}+2\sqrt{2}ab}{4}}{2ab}$
=$\frac{\frac{3}{4}{a}^{2}+\frac{{b}^{2}}{2}}{2ab}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$
≥$\frac{2\sqrt{\frac{3}{4}{a}^{2}•\frac{1}{2}{b}^{2}}}{2ab}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}$．
当且仅当$\frac{3}{4}{a}^{2}$=$\frac{1}{2}{b}^{2}$时，取等号，
∴cosC的最小值为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}$．

点评 本题考查三角函数值的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦定理和基本不等式的合理运用．