Question

设函数f（x）=|x-2|+|2x+4|．
（1）解不等式f（x）≥6；
（2）若关于x的不等式f（x）≤|2a+1|的解集不是空集，试求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|x-2|+|2x+4|中的绝对值符号，求解不等式f（x）≥6；
（2）把关于x的不等式f（x）≤|2a+1|的解集不是空集，转化为关于x的不等式f（x）≤|2a+1|的解集非空，求出函数f（x）的最小值，即可求得a的取值范围．

解答： 解：（1）由于函数f（x）=|x-2|+|2x+4|=

-3x-2，x＜-2 x+6，-2≤x＜2 3x+2，x≥2

，
故由f（x）≥6可得|x-2|+|2x+4|≥6，
故有 ①

x＜-2 -3x-2≥6

； ②

-2≤x＜2 x+6≥6

；③

x≥2 3x+2≥6

．
解①求得x≤-

8

3

；解②求得0≤x＜2；解③求得x≥2．
综上可得，不等式的解集为（-∞，-

8

3

]∪[0，+∞）；
（2）关于x的不等式f（x）≤|2a+1|的解集不是空集，
即|x-2|+|2x+4|≤|2a+1|的解集不是空集．
由（1）可得当x=-2时，函数f（x）取得最小值为4，
即f（x）=|x-2|+|2x+4|≥4，则|2a+1|≥4，
解得：a≥

3

2

或a≤-

5

2

．
即a的取值范围是：{a|a≥

3

2

或a≤-

5

2

}．

点评：本题主要考查了绝对值的代数意义，去绝对值体现了分类讨论的数学思想；根据分段函数解析式求函数的最值，不等式有解的问题转化为求函数最值问题，属中档题．