Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=

1

2

n（n+1）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b₁=1，2b_n-b_n-1=0，c_n=a_nb_n，数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当n=1时，a₁=S₁=1，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出；
（2）由b₁=1，2b_n-b_n-1=0，利用等比数列的通项公式可得bn=(

1

2

)n-1．c_n=a_nb_n=n×(

1

2

)n-1．再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=1，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

n(n+1)-

1

2

n(n-1)=n．当n=1时也成立．
∴a_n=n．
（2）∵b₁=1，2b_n-b_n-1=0，∴数列{b_n}为等比数列，∴bn=(

1

2

)n-1．
∴c_n=a_nb_n=n×(

1

2

)n-1．
∴T_n=1+2×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+n×(

1

2

)n-1，

1

2

Tn=

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+（n-1）×(

1

2

)n-1+n•(

1

2

)n，
∴

1

2

Tn=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1-n•(

1

2

)n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n(

1

2

)n=2-

2+n

2n

．
∴Tn=4-

2+n

2n-1

．

点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．