Question

已知函数f（x）=sin2x+acos2x图象的一条对称轴是x=

π

12

，则下列说法中正确的是（　　）

• A、f（x）的最大值为1-

  3

• B、f（x）在[0，

  π

  2

  ]上单调递增
• C、f（x）在[-

  π

  4

  ，0]上单调递增
• D、（

  π

  12

  ，0）为函数f（x）的对称中心

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：将函数y=f（x）化简整理，得f（x）=

1+a2

sin（2x+θ），由x=

π

12

是图象的对称轴，得θ=

π

3

+kπ（k∈Z），可解得a的值，从而即可得f（x）的解析式，从而根据正弦函数的性质逐一判断即可得解．

解答： 解：∵根据辅助角公式，得f（x）=sin2x+acos2x=

1+a2

sin（2x+θ），其中θ是满足tanθ=a一个角
∵函数y=f（x）图象的一条对称轴是x=

π

12

，
∴f（

π

12

）是函数的最值，得2•

π

12

+θ=

π

2

+kπ（k∈Z）
由此可得：θ=

π

3

+kπ（k∈Z），得a=tanθ=

3

∴f（x）=

1+a2

sin（2x+θ）=2sin（2x+

π

3

+kπ）（k∈Z），
∴f（x）的最大值为2，故A不正确；
∴由2sin（2×

π

12

+

π

3

+kπ）≠0，可知D不正确；
∴由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

+kπ≤2kπ+

π

2

可解得f（x）的单调递增区间为：x∈[kπ-

5π

12

-

kπ

2

，kπ+

π

12

-

kπ

2

]，（k∈Z），当k=0时，有x∈[-

5π

12

，

π

12

]，
由于[-

π

4

，0]?[-

5π

12

，

π

12

]，
故选：C．

点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的图象与性质，综合性强，属于中档题．