Question

16．已知f（x）=（a-2）x²+2（a-2）x-4，
（Ⅰ）当x∈R时，恒有f（x）＜0，求a的取值范围；
（Ⅱ）当x∈[1，3）时，恒有f（x）＜0，求a的取值范围；
（Ⅲ）当a∈（1，3）时，恒有f（x）＜0，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）讨论f（x）的函数类型，借助于二次函数图象与x转轴交点个数与开口方向，判别式的关系求出；
（2）令f（x）在[1，3）上的最大值小于0即可；
（3）令g（a）=（a-2）x²+2（a-2）x-4=（x²+2x）a-2x²-4x-4，令g（1）＜0，g（3）＜0即可．

解答 解：（Ⅰ）当 a=2 时，f（x）=-4＜0，符合题意，
 当a≠2时，f（x）为二次函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}a＜2\\△=4{（{a-2}）^2}+16（{a-2}）＜0\end{array}\right.⇒-2＜a＜2$，
∴a的取值范围是（-2，2]．
（Ⅱ）当a=2时，f（x）=-4＜0成立，
当a-2＜0，即a＜2时，f（x）图象对称轴为x=-1，
∴f（x）在（-1，+∞）上为减函数，
∴当x∈[1，3）时，恒有f（x）＜f（0）=-4＜0，符合题意；
当a＞2时，f（x）在区间[1，3）为增函数，
∴f（3）≤0$⇒2＜a≤\frac{34}{15}$
综上所述：a的取值范围是（-∞，$\frac{34}{15}$]．
（Ⅲ）设f（x）=（x²+2x）a-2x²-4x-4=g（a），
由题设知：当a∈（1，3）时，恒有g（a）＜0，
又g（1）=-x²-2x-4=-（x-1）²-3＜0，
∴g（3）=x²+2x-4≤0，
∴$-\sqrt{5}-1≤x≤\sqrt{5}-1$．

点评 本题考查了二次函数的图象，最小值和单调性，属于中档题．