Question

8．已知函数f（x）=x²-2ax+2，
（1）当a=1时求f（x）的最小值；
（2）当x∈[-1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把a代人，利用二次函数求解即可得f（x）的最小值为1；
（2）不等式整理为x²-2ax+2-a≥0当x∈[-1，+∞）时恒成立，对二次函数判别式，△=4a²-4（2-a）≤0时，①式成立，解得-2≤a≤1
，△=4a²-4（2-a）≥0时，得a＜-2或a＞1，对称轴分类讨论，求出a的范围．

解答 解：（1）f（x）=x²-2ax+2，当a=1时，
f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴f（x）的最小值为1；
（2）f（x）=x²-2ax+2，当x∈[-1，+∞）时，f（x）≥a恒成立
∴x²-2ax+2-a≥0当x∈[-1，+∞）时恒成立  ①
△=4a²-4（2-a）≤0时，①式成立，解得-2≤a≤1
△=4a²-4（2-a）≥0时，得a＜-2或a＞1
又f（x）=x²-2ax+2-a的对称轴是x=a
当a＞1时，函数的最小值是a²-2a²+2-a≥0，解得-2≤a≤1，此种情况下无解，
当a＜-2时，函数在区间[-1，+∞）上是增函数，最小值在x=-1时取到，所以函数的最小值是3+a≥0，解得a≥-3，
故有-3≤a＜-2
综上，实数a的取值范围是[-3，1]

点评 考查了二次函数的性质和恒成立问题的转换．属于基础题型，应熟练掌握．