Question

7．（已知曲线C₁的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程是ρ=-4cosθ．
（1）求曲线C₁与C₂交点的极坐标；
（2）A、B两点分别在曲线C₁与C₂上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．

Answer 1

分析 （1）把参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组求出交点的坐标，再把交点的直角坐标化为极坐标；
（2）画出图象，由平面几何知识可知，A，C₁，C₂，B依次排列且共线时|AB|最大．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），得$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y-2=2sinθ}\end{array}\right.$，两式平方作和得：x²+（y-2）²=4，即x²+y²-4y=0；
由ρ=-4cosθ，得ρ²=-4ρcosθ，即x²+y²=-4x．
两式作差得：x+y=0，代入C₁得交点为（0，0），（-2，2）．
其极坐标为（0，0），（2$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$）；
（2）如图，
由平面几何知识可知，A，C₁，C₂，B依次排列且共线时|AB|最大．
此时|AB|=2$\sqrt{2}$+4，O到AB的距离为$\sqrt{2}$．
∴△OAB的面积为S=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{2}$+4）×$\sqrt{2}$=2+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．