Question

10．过抛物线y²=4x的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若$\frac{1}{|AF|}-\frac{1}{|BF|}$=$\frac{1}{2}$，则直线l的倾斜角θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）等于（　　）

• A． $\frac{π}{2}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 方法一．设直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理表示出x₂-x₁，根据抛物线的性质表示丨AF丨，丨BF丨，由题意可知求得k的值，求得倾斜角θ；
方法二，由抛物线焦点弦的性质$\frac{1}{丨AF丨}$+$\frac{1}{丨BF丨}$=1，与$\frac{1}{|AF|}-\frac{1}{|BF|}$=$\frac{1}{2}$，求得丨AF丨，丨BF丨，丨AB丨=$\frac{2p}{si{n}^{2}α}$即可求得倾斜角θ．

解答 解：方法一：由题意可得直线AB的斜率k存在
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），F（1，0）则可得直线AB的方程为y=k（x-1）
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
∴x₁+x₂=$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1
∴x₂-x₁=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{{k}^{2}}$，
∵$\frac{1}{|AF|}-\frac{1}{|BF|}$=$\frac{1}{{x}_{1}+1}$-$\frac{1}{{x}_{2}+1}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴解得：k=$\sqrt{3}$或k=-$\sqrt{3}$，
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，
∴k=$\sqrt{3}$，
∴θ=$\frac{π}{3}$，
故选B．
方法二：由抛物线的焦点弦性质，$\frac{1}{丨AF丨}$+$\frac{1}{丨BF丨}$=$\frac{p}{2}$=1，
由$\frac{1}{|AF|}-\frac{1}{|BF|}$=$\frac{1}{2}$，解得：丨AF丨=$\frac{4}{3}$，丨BF丨=4，
∴丨AB丨=丨AF丨+丨BF丨=$\frac{16}{3}$=$\frac{2p}{si{n}^{2}α}$=$\frac{4}{si{n}^{2}α}$，解得：sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵θ=$\frac{π}{3}$，
故选B．

点评 本题考查抛物线的简单几何性质的应用，考查直线与抛物线的位置关系，考查计算能力，属于中档题．