Question

设f（x）=sin（ωx-

π

6

），ω＞0，若函数f（x）的图象与直线y=m（m为常数）相切，并且切点的横坐标依次成公差为π的等差数列．
（1）求ω及m的值；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移

π

12

，得到y=g（x）的图象，当x∈（

π

2

，

7π

4

）时，g（x）=cosα的交点横坐标依次为x₁，x₂，x₃，若x₁，x₂，x₃-

π

4

构成等差数列，求钝角α的值．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,等差数列的通项公式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：等差数列与等比数列,三角函数的图像与性质

分析：（1）先根据T=π=

2π

ω

可求出ω，函数f（x）的最大值等于1，可求m的值．
（2）将f（x）=sin（2x-

π

6

）的图象向左平移

π

12

，得到g（x）=sin2x，由其对称性，可设交点横坐标，通过x₁，x₂，x₃-

π

4

构成等差数列，由此能求出钝角α的值．

解答： 解：（1）f（x）=sin（ωx-

π

6

），ω＞0，若函数f（x）的图象与直线y=m（m为常数）相切，
并且切点的横坐标依次成公差为π的等差数列．f（x）的周期为π，T=π=

2π

ω

，ω=2，函数的最值为±1，
∴m=±1．
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移

π

12

，得到y=g（x）=sin[2（x+

π

12

）-

π

6

]=sin2x的图象，
∴g（x）=sin2x，
∵g（x）=cosα，
∴sin2x=cosα，
∴由三角函数图象的周期性，可设交点横坐标分别为x₁，

3π

2

-x₁，π+x₁，
∵当x∈（

π

2

，

7π

4

）时，g（x）=cosα的交点横坐标x₁，x₂，x₃，若x₁，x₂，x₃-

π

4

构成等差数列，
∴2（

3π

2

-x1）=x1+π+x1-

π

4

，则x₁=

9

16

π．
∴cosα=sin

9π

8

=-sin

π

8

=cos

5π

8

，
∴α=

5π

8

．

点评：本题考查数列与向量的综合运用，解题时要认真审题，注意三角函数恒等式的灵活运用．