Question

已知数列{a_n}满足递推式：a_n+1-

2

an

=a_n-

2

an-1

（n≥2，n∈N），a₁=1，a₂=3．
（Ⅰ）若b_n=

1

1+an

，求b_n+1与b_n的递推关系（用b_n表示b_n+1）；
（Ⅱ）求证：|a₁-2|+|a₂-2|+…+|a_n-2|＜3（n∈N^*）．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用a_n+1-

2

an

=a_n-

2

an-1

，bn=

1

1+an

⇒an=

1

bn

-1，即可求b_n+1与b_n的递推关系（用b_n表示b_n+1）；
（Ⅱ）求出

1

1+an

的表达式，对n分奇数与偶数讨论：|a2k-1-2|=

3

22k-1+1

，|a2k-2|=

3

22k-1

，即可证明结论．

解答： （Ⅰ）解：an+1-

2

an

=an-

2

an-1

=…=a2-

2

a1

=3-2=1⇒an+1-

2

an

=1①
bn=

1

1+an

⇒an=

1

bn

-1代入①式得

1

bn+1

-1-

2

1 bn -1

=1⇒

1-bn+1

bn+1

-

2bn

1-bn

=1
即bn+1=-

1

2

bn+

1

2

；
（Ⅱ）证明：

1

1+an

=

1

3

[1-(-

1

2

)n]⇒an+1=

3

1-(- 1 2 )n

⇒|an-2|=|

3

1-(- 1 2 )n

-3|=

3

|(-2)n-1|

对n分奇数与偶数讨论：|a2k-1-2|=

3

22k-1+1

，|a2k-2|=

3

22k-1

，
则|a2k-1-2|+|a2k-2|=3(

1

22k-1+1

+

1

22k-1

)=3•

22k-1+22k

24k-1+22k-1-1

＜3•

22k-1+22k

24k-1

=3•(

1

22k-1

+

1

22k

)，
则|a1-2|+|a2-2|+…+|a2k-1-2|+|a2k-2|＜3•(

1

2

+

1

22

+…+

1

22k

)=3•(1-

1

22k

)＜3；
又|a1-2|+|a2-2|+…+|a2k-1-2|+|a2k+1-2|＜3•(1-

1

22k

)+

3

22k+1+1

=3•(1+

1

22k+1+1

-

1

22k

)＜3．
综上所述，原不等式成立．

点评：本题考查数列递推式，考查数列与不等式的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．