Question

11．已知函数f（x）=x²-1，函数g（x）=2tlnx，其中t≤1．
（1）如果函数f（x）与g（x）在x=1处的切线均为l，求切线l的方程及t的值；
（2）若函数h（x）=f（x）-g（x）有且仅有一个零点，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别求得f（x），g（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得t=1，即可得到切线的斜率和切点坐标，可得切线的方程；
（2）设函数h（x）=f（x）-g（x），“曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点”等价于“函数y=h（x）有且仅有一个零点”．对h（x）求导，讨论①当t≤0时，②当t=1时，③当0＜t＜1时，求出单调区间，即可得到零点和所求范围

解答 解：（1）求导，得f′（x）=2x，g′（x）=$\frac{2t}{x}$，（x＞0）．                  
由题意，得切线l的斜率k=f′（1）=g′（1），
即k=2t=2，解得t=1．
又切点坐标为（1，0），
所以切线l的方程为2x-y-2=0；         
（2）设函数h（x）=f（x）-g（x）=x²-1-2tlnx，x∈（0，+∞）．      
“曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点”等价于
“函数y=h（x）有且仅有一个零点”．
求导，得h′（x）=2x-$\frac{2t}{x}$．
①当t≤0时，由x∈（0，+∞），得h'（x）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）单调递增．
又因为h（1）=0，所以y=h（x）有且仅有一个零点1，符合题意．   
②当t=1时，当x变化时，h'（x）与h（x）的变化情况如下表所示：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h'（x）	-	0	+
h（x）	↘	极小值	↗

所以h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以当x=1时，h（x）_min=h（1）=0，
故y=h（x）有且仅有一个零点1，符合题意．                  
③当0＜t＜1时，令h'（x）=0，解得x=$\sqrt{t}$．
当x变化时，h'（x）与h（x）的变化情况如下表所示：

x	（0，$\sqrt{t}$）	$\sqrt{t}$	（$\sqrt{t}$，+∞）
h'（x）	-	0	+
h（x）	↘	极小值	↗

所以h（x）在（0，$\sqrt{t}$）上单调递减，在（$\sqrt{t}$，+∞）上单调递增，
所以当x=$\sqrt{t}$时，h（x）_min=h（$\sqrt{t}$）．                          
因为h（1）=0，$\sqrt{t}$＜1，且h（x）在（$\sqrt{t}$，+∞）上单调递增，
所以h（$\sqrt{t}$）＜h（1）=0．
又因为存在e${\;}^{-\frac{1}{2t}}$∈（0，1），h（e${\;}^{-\frac{1}{2t}}$）=e${\;}^{-\frac{1}{t}}$-1-2tlne${\;}^{-\frac{1}{2t}}$=e${\;}^{-\frac{1}{t}}$＞0，
所以存在x₀∈（0，1）使得h（x₀）=0，
所以函数y=h（x）存在两个零点x₀，1，与题意不符．
综上，曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点时，
t的范围是{t|t≤0，或t=1}．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查函数的零点问题的解法，注意运用构造法，通过导数求得单调性，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题．