Question

学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择．调查表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有

1

5

改选B菜；而选B菜的，下星期一会有

3

10

改选A菜．用a_n，b_n分别表示第n个星期选A的人数和选B的人数．
（1）试用a_n+1（n∈N^*，n≥2）表示a_n，判断数列{a_n-300}是否成等比数列并说明理由；
（2）若第一个星期一选A种菜的有200人，那么第10个星期一选A种菜的大约有多少人？

Answer 1

考点：数列的应用

专题：应用题,等差数列与等比数列

分析：（1）根据这星期一选A菜的，下星期一会有

1

5

改选B菜；而选B菜的，下星期一会有

3

10

改选A菜，可得a_n+1=

1

2

a_n+250，再利用等比数列的定义判断数列{a_n-300}是否成等比数列；
（2）利用{a_n-300}是以a₁-300为首项，

1

2

为公比的等比数列，即可求出第10个星期一选A种菜的人数．

解答： 解：（1）由题知，对n∈N^*有b_n=500-a_n，
∴当n∈N^*且n≥2时，an=

4

5

an-1+

3

10

(500-an-1)⇒an=

1

2

an-1+250⇒an-300=

1

2

(an-1-300)，
∴a_n+1=

1

2

a_n+250，
∴当a₁=300时，{a_n-300}不是等比数列；
  当a₁≠300时，{a_n-300}是以a₁-300为首项，

1

2

为公比的等比数列．
（2）当a₁=200时，an-300=(

1

2

)n-1(a1-300)⇒an=300-

100

2n-1

⇒a10=300-

100

29

≈300
∴第10个星期一选A种菜的大约有300人．

点评：本题考查数列知识在生产实际中的应用，理清题设中的数量关系，合理地运用数列知识进行求解是关键．