Question

已知α+β=

2π

3

，sinα+cosβ=

3 +1

4

，求sin（α-β）

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：计算题,三角函数的求值

分析：由已知先求得sinα+sinβ=

1+ 3

2

sin（α-

π

12

），从而代入已知可得sin（α-

π

12

）=

2

4

，不妨设sinA=

2

4

，A∈（0，π），可得α=

π

12

+A，β=

7π

12

-A，得α-β=2A-

π

2

，从而有sin（α-β）=-cos2A=2sin²A-1=-

3

4

．

解答： 解：∵α+β=

2π

3

，∴β=

2π

3

-α，
∴sinα+sinβ=sinα+sin（

2π

3

-α）=（1+

3

2

）sinα-

1

2

cosα=

1+ 3

2

sin（α-

π

12

），
∵sinα+sinβ=

1+ 3

4

，
∴sin（α-

π

12

）=

2

4

，
不妨设sinA=

2

4

，A∈（0，π），
∴α=

π

12

+A，β=

7π

12

-A，∴α-β=2A-

π

2

，
∴sin（α-β）=-cos2A=2sin²A-1=-

3

4

．

点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，考查了转化思想，角的转化是解题的关键，属于中档题．