Question

已知函数f（x）=lg

1-x

x+1

（-1＜x＜1）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）证明f（x）是区间（-1，1）上的单调减函数；
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的值域,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；
（2）根据复合函数单调性的关系即可证明f（x）是区间（-1，1）上的单调减函数；
（3）利用对数函数的图象和性质即可求函数f（x）的值域．

解答： 解：（1）f（-x）=lg

1+x

-x+1

=lg（

1-x

x+1

）^-1=-lg

1-x

x+1

=-f（x），
则f（x）为奇函数；
（2）

1-x

x+1

=

2-(x+1)

x+1

=

2

x+1

-1，
∵-1＜x＜1，∴y=

2

x+1

为减函数，
y=

2

x+1

-1为减函数，
∵y=lgx为增函数，
∴根据复合函数单调性之间的关系可知f（x）=lg

1-x

x+1

（-1＜x＜1）是区间（-1，1）上的单调减函数；
（3）∵

1-x

x+1

=

2-(x+1)

x+1

=

2

x+1

-1，
∵-1＜x＜1，∴

2

x+1

-1＞0，
∴f（x）=lg

1-x

x+1

∈（-∞，+∞），
故函数f（x）的值域为（-∞，+∞）．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性，值域的判断，利用对数函数的性质是解决本题的关键．