Question

若点A，B在曲线x²-y²=2（x＞0）上，则

OA

•

OB

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,平面向量数量积的运算

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：设出A，B的坐标，写出两向量的数量积，把纵坐标用横坐标表示，然后利用基本不等式求得最小值．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁＞0，x₂＞0，且x₁x₂≥2．

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂≥x1x2-

x12-2

•

x22-2

=x1x2-

(x1x2)2-2(x12+x22)+4

≥x1x2-

(x1x2)2-4x1x2+4

=x1x2-

(x1x2-2)2

=x₁x₂-|x₁x₂-2|
=x₁x₂-（x₁x₂-2）
=2．
∴

OA

•

OB

的最小值为2．
故答案为：2．

点评：本题考查了双曲线的简单性质，考查了平面向量的数量积运算，考查了利用基本不等式求最值，体现了数学转化思想方法，是中档题．