Question

18．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB=AP，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（1）求证：BE∥平面PAD； 
（2）求异面直线PD与BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BE∥平面PAD．
（2）求出$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{BC}$=（1，2，0），由此利用向量法能求出异面直线PD与BC所成角的余弦值．

解答 证明：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
设CD=AD=2AB=AP=2，
则B（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1），
$\overrightarrow{BE}$=（0，1，1），
∵平面PAD的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{n}$=0，
∵BE?平面PAD，∴BE∥平面PAD．
解：（2）D（0，2，0），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{BC}$=（1，2，0），
设异面直线PD与BC所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{PD}|•|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{|4|}{\sqrt{8}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
所以异面直线PD与BC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．