Question

6．已知数列{a_n}的前n项和S_n，且S_n=2n²+3n；
（1）求它的通项a_n．
（2）若b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由数列的通项和求和的关系：当n=1时，a₁=S₁，当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，化简即可得到所求通项；
（2）求得b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（4n+1）（4n+5）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4n+1}$-$\frac{1}{4n+5}$），再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）由S_n=2n²+3n，
当n=1时，a₁=S₁=5；
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=2n²+3n-2（n-1）²-3（n-1）
=4n+1，对n=1也成立．
则通项a_n=4n+1；
（2）b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（4n+1）（4n+5）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4n+1}$-$\frac{1}{4n+5}$），
即有前n项和T_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{13}$+…+$\frac{1}{4n+1}$-$\frac{1}{4n+5}$）
=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{4n+5}$）=$\frac{n}{5（4n+5）}$．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用数列的通项和前n项和的关系，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．