Question

已知椭圆C：

x2

12

+

y2

4

=1和圆M：（x+3）²+（y-2）²=r²（r＞0）交于A，B两点．
（1）若A，B两点关于原点对称，求圆M的方程；
（2）若点A的坐标为（0，2），O为坐标原点，求△OAB的面积．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意可得OM⊥AB，求出OM以及OM的斜率，再求出直线AB的斜率和方程，与椭圆的方程联立求出A、B的坐标，再求出|AB|和半径r，即可求出圆M的方程；
（2）设直线AB的方程是y=kx+2，分别和椭圆、圆的方程联立求出A、B的坐标和直线AB的方程，再由点到直线的距离公式和三角形的面积公式，求出△OAB的面积．

解答： 解：（1）∵A，B两点关于原点对称，∴圆M的弦AB中点是O，则OM⊥AB，
由圆M：（x+3）²+（y-2）²=r²（r＞0）得，M（-3，2），
则点M到直线AB的距离是OM=

9+4

=

13

，
且k_OM=-

2

3

，则kAB=

3

2

，∴直线AB的方程是3x-2y=0，
由

x2 12 + y2 4 =1 3x-2y=0

得，A、B的坐标是(

4 3

31

，

6 3

31

)，(-

4 3

31

，-

6 3

31

)，
∴弦|AB|=

4( 4 3 31 )2+( 6 3 31 )2

=

4 39

31

，
∴r²=OM2+(

|AB|

2

)2=

559

31

，
所以圆M的方程是：（x+3）²+（y-2）²=

559

31

；
（2）由题意设直线AB的方程是y=kx+2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2 12 + y2 4 =1 y=kx+2

得，（1+3k²）x²+12kx=0，
∴x₁=0，x₂=-

12k

1+3k2

，
把点A（0，2）代入（x+3）²+（y-2）²=r²，解得r²=9，
由

(x+3)2+(y-2)2=9 y=kx+2

得，（1+k²）x²+6x=0，
∴x₁=0，x₂=-

6

1+k2

，
由-

12k

1+3k2

=-

6

1+k2

得，2k³-3k²+2k-1=0，
则（k-1）（2k²-k+1）=0，解得k=1，
∴A（0，2），B（-3，-1），直线AB的方程是y=x+2，
则|AB|=3

2

，点O到直线AB的距离d=

|2|

2

=

2

，
∴△OAB的面积S=

1

2

×3

2

×

2

=3．

点评：本题考查直线与圆、椭圆的位置关系，以及圆的弦的性质，考查化简、计算能力．