Question

在数列{a_n}中，a_n＞0，a₁=

1

2

，如果a_n+1是1与

2anan+1+1

4-an2

的等比中项，那么a₁+

a2

22

+

a3

32

+

a4

42

+…+

a100

1002

的值是（　　）

• A、

  100

  99

• B、

  101

  100

• C、

  100

  101

• D、

  99

  100

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得an+12=

2anan+1+1

4-an2

，a_n＞0，利用递推思想求出数列的前3项，由此猜想a_n=

n

n+1

，并用数学归纳法进行证明，得到a_n=

n

n+1

，从而

an

n2

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

由此利用裂项求和法能求出a₁+

a2

22

+

a3

32

+

a4

42

+…+

a100

1002

的值．

解答： 解：∵在数列{a_n}中，a_n＞0，a₁=

1

2

，
a_n+1是1与

2anan+1+1

4-an2

的等比中项，
∴an+12=

2anan+1+1

4-an2

，a_n＞0，
∴a22=

a2+1

4- 1 4

，解得a2=

2

3

，
a32=

4 3 a3+1

4- 4 9

，解得a₃=

3

4

，
由此猜想a_n=

n

n+1

，
当n=1时，a1=

1

2

，成立，
假设n=k时，成立，即ak=

k

k+1

，
则当n=k+1时，a_k+1²=

2× k k+1 ×ak+1+1

1-( k k+1 )2

，解得a_k+1=

k+1

k+2

，即n=k+1时，等式成立，
∴a_n=

n

n+1

，∴

an

n2

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴a₁+

a2

22

+

a3

32

+

a4

42

+…+

a100

1002

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

100

-

1

101

）
=1-

1

101

=

100

101

．
故选：C．

点评：本题考查数列的前100项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递推思想、数学归纳法、裂项求和法的合理运用．