Question

已知函数f（x）=

ax

4x+b

（x∈[

1

3

，1]）在[

1

2

，f（

1

2

）]处的切线方程为x+y-1=0，求f（x）的解析式．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：本题已知曲线在某点处的切线方程，可以利用切线方程求出点的纵坐标和切线的斜率，得到原函数和导函数满足的关系式，联列方程组，求出题目中参数的值，得到本题的解．

解答： 解：∵函数f（x）=

ax

4x+b

∴f ′(x)=

a(4x+b)-4ax

(4x+b)2

=

ab

(4x+b)2

．
∵切线方程为x+y-1=0，
∴直线斜率为-1，当x=

1

2

时，y=

1

2

．
∴f ′(

1

2

)=-1，f(

1

2

)=

1

2

∴

ab

(2+b)2

=-1，

1 2 a

2+b

=

1

2

．
∴a=1，b=-1．
∴f(x)=

x

4x-1

．

点评：本题考查的是导数知识，关键是利用切线得到点的坐标和直线斜率，利用函数和导函数得到关于参数的方程组，从而求出参数的值．本题属于常规题，难点在于分式的求导公式．