Question

内接于单位圆O的锐角△ABC中，已知角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，且

OA

•

OB

=-

1

2

，求∠C的大小及边c的长度．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算

专题：计算题,解三角形

分析：首先运用平面向量的数量积定义，求出∠AOB，根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出∠C，再根据正弦定理求出边c的值．

解答： 解：如图内接于单位圆O的锐角△ABC，
且

OA

•

OB

=-

1

2

，
∴|

OA

|=|

OB

|=1，|

OA

|•|

OB

|•cos∠AOB=-

1

2

，
∴∠AOB=

2π

3

，
由同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得
∠C=

π

3

，
再由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2，
∴c=2sinC=2×sin

π

3

=

3

．
∴∠C=

π

3

，c=

3

．

点评：本题主要考查正弦定理以及应用，同时考查平面向量的数量积定义和同圆的同弧或等弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，熟悉这些对解题很有帮助．