Question

若0＜x，y＜

π

2

，且sinx=xcosy，求证：y＜x＜2y．

Answer 1

考点：三角函数线

专题：三角函数的图像与性质

分析：根据已知中0＜x，y＜

π

2

，可得0＜sinx＜x＜tanx，进而可将已知sinx=xcosy变形为cosy=

sinx

x

＞

sinx

tanx

=cosy和

1

2

sinx=

1

2

xcosy，即cosy=

sin x 2 •cos x 2

1 2 x

＜cos

x

2

，进而结合余弦函数的单调性，得到答案．

解答： 证明：∵0＜x，y＜

π

2

，
∴0＜sinx＜x＜tanx，
又∵sinx=xcosy，
∴cosy=

sinx

x

＞

sinx

tanx

=cosx，
故y＜x，
又∵sinx=xcosy，即

1

2

sinx=

1

2

xcosy，
∴sin

x

2

•cos

x

2

=

1

2

xcosy，
即cosy=

sin x 2 •cos x 2

1 2 x

＜cos

x

2

，
故y＞

x

2

，即x＜2y，
综上所述，y＜x＜2y．

点评：本题考查的知识点是三角函数线，余弦函数的单调性，本题的变形思路比较难，特别是对已知两个式子的变形．