Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大小；
（Ⅲ）是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由题设条件推导出PA⊥BC，AC⊥BC，由此能够证明BC⊥平面PAC．
（Ⅱ）由已知条件推导出∠DAE是AD与平面PAC所成的角，由此能求出AD与平面PAC所成的角的大小．
（Ⅲ）由已知条件推导出∠AEP为二面角A-DE-P的平面角，由此能推导出存在点E使得二面角A-DE-P是直二面角．

解答： 解：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．
又∵∠BCA=90°，∴AC⊥BC．
∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．…（4分）
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE∥BC，
∴DE=

1

2

BC，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E．
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，…（6分）
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP为等腰直角三角形，∴AD=

1

2

AB，
∴在Rt△ABC中，∠ABC=60°，∴BC=

1

2

AB．
∴在Rt△ADE中，sin∠DAE=

DE

AD

=

BC

2AD

=

2

4

，
∴AD与平面PAC所成的角的大小arcsin

2

4

．…（8分）
（Ⅲ）∵DE∥BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角A-DE-P的平面角，…（10分）
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC=90°．
∴在棱PC上存在一点E，
使得AE⊥PC，这时∠AEP=90°，
故存在点E使得二面角A-DE-P是直二面角．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的大小的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．