Question

已知：∵tan2α=

2tanα

1-tan2α

，∴cot2α=

1-tan2α

2tanα

∴2cot2α=cotα-tanα即cotα=tanα+2cot2α
（1）请利用已知的结论证明：cotα=tanα+2tan2α+4cot4α
（2）请你把（2）的结论推广到更一般的情形，使之成为推广后的特例，并加以证明；
（3）化简tan5°+2tan10°+4tan20°+8tan50°．

Answer 1

考点：归纳推理,三角函数中的恒等变换应用,两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）在已知结论中，取α=2α，得到cot2α=tan2α+2cot4α，把cot2α代入已知结论得答案；
（2）由已知结论和（1）中得到结论，归纳得到一般情形，利用依次取倍角的办法得答案；
（3）直接由（2）的结论进行化简．

解答： （1）证明：∵cotα=tanα+2cot2α，取α=2α得，
cot2α=tan2α+2cot4α，∴cotα=tanα+2tan2α+4cot4α；
（2）一般地，cotα=tanα+2tan2α+2²tan2²α+…+2^n-1tan2^n-1α+2ⁿcot2ⁿα（n∈N⁺）．
证明：∵cotα=tanα+2cot2α，∴cot2α=tan2α+2cot4α
∴cotα=tanα+2tan2α+4cot4α=tanα+2tan2α+2²cot2²α，
以此类推得cotα=tanα+2tan2α+2²tan2²α+…+2^n-1tan2^n-1α+2ⁿcot2ⁿα（n∈N⁺）；
（3）解：由（2）中结论得，
tan5°+2tan10°+4tan20°+8tan50°
=tan5°+2tan10°+4tan20°+cot40°=cot5°．

点评：本题考查三角函数这种的恒等变换应用，考查了二倍角的正切公式和余切公式，考查了学生的归纳推理能力，是中档题．