Question

已知动点M到点F（0，1）的距离等于点M到直线y=-1的距离，点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设P为直线l：x-y-2=0上的点，过点P做曲线C的两条切线PA，PB，当点P（x₀，y₀）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
（Ⅲ）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）动点M到点F（0，1）的距离等于点M到直线y=-1的距离，根据抛物线的定义，可得结论；
（Ⅱ）求出切线PA，PB的方程，利用切线PA，PB均过P（x₀，y₀），可得A，B的坐标是方程x₀x-2y-2y₀=0的两组解，从而可求直线AB的方程；
（Ⅲ）由抛物线定义可知|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，表示出|AF|•|BF|，利用配方法可求|AF|•|BF|的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵动点M到点F（0，1）的距离等于点M到直线y=-1的距离，
∴根据抛物线的定义，可得抛物线的焦点F（0，1），
∴轨迹C的方程为x²=4y；
（Ⅱ）∵x²=4y，∴y=

1

4

x2，
∴y′=

1

2

x．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则切线PA，PB的斜率分别为

1

2

x1，

1

2

x2，
∴切线PA的方程为y-y1=

1

2

x1(x-x1)，即x₁x-2y-2y₁=0，
同理可得切线PB的方程为x₂x-2y-2y₂=0，
∵切线PA，PB均过点P（x₀，y₀），
∴x₁x₀-2y₀-2y₁=0，x₂x₀-2y₀-2y₂=0，
∴A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）为方程x₀x-2y₀-2y=0的解，
∴直线AB的方程的方程为x₀x-2y₀-2y=0；
（Ⅲ）由抛物线定义可知|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，
∴|AF|•|BF|=（y₁+1）（y₂+1）=y₁y₂+（y₁+y₂）+1
由x₀x-2y₀-2y=0与抛物线的定义联立，可得y²+（2y₀-x₀²）y+y₀²=0
∴|AF|•|BF|=y₀²+x₀²-2y₀+1．
∵点P（x₀，y₀）在直线l上，
∴x₀=y₀+2，
∴|AF|•|BF|=y₀²+x₀²-2y₀+1=2（y₀+

1

2

）²+

9

2

，
∴当y₀=-

1

2

时，|AF|•|BF|取得最小值，最小值为

9

2

．

点评：本题考查轨迹方程，考查抛物线的切线方程，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于难题．