Question

如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，点D是BC的中点．
（1）求异面直线A₁B与C₁D所成角的余弦值；
（2）求平面ADC₁与ABA₁所成二面角的正弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）以{

AB

，

AC

，

AA1

}为单位正交基底建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出异面直线A₁B与C₁D所成角的余弦值．
（2）分别求出平面ABA₁的法向量和平面ADC₁的法向量，利用向量法能求出平面ADC₁与ABA₁所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC₁与ABA₁所成二面角的正弦值．

解答： 解：（1）以{

AB

，

AC

，

AA1

}为单位正交基底建立空间直角坐标系A-xyz，
则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），
A₁（0，0，4），D（1，1，0），C₁（0，2，4），
∴

A1B

=(2，0，-4)，

C1D

=（1，-1，-4），
∴cos＜

A1B

，

C1D

＞=

A1B • C1D

| A1B |•| C1D |

=

18

20 • 18

=

3 10

10

，
∴异面直线A₁B与C₁D所成角的余弦值为

3 10

10

．
（2）

AC

=(0，2，0) 是平面ABA₁的一个法向量，
设平面ADC₁的法向量为

m

=(x，y，z)，
∵

AD

=(1，1，0)，

AC1

=(0，2，4)，
∴

m • AD =x+y=0 m • AC1 =2y+4z=0

，取z=1，得y=-2，x=2，
∴平面ADC₁的法向量为

m

=(2，-2，1)，
设平面ADC₁与ABA₁所成二面角为θ，
∴cosθ=|cos＜

AC

，

m

＞|=|

-4

2× 9

|=

2

3

，
∴sinθ=

1-( 2 3 )2

=

5

3

．
∴平面ADC₁与ABA₁所成二面角的正弦值为

5

3

．

点评：本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．