Question

解下列关于x的不等式：
（1）

x-1

x-a2

＞0；
（2）（ax-1）（x+1）≤0．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）原不等式等价于（x-1）（x-a²）＞0，分类讨论结合二次函数和二次函数不等式的解集可得；
（2）分类讨论：当a=0时，解集为{x|x≥-1}；当a＞0时，解集为{x|-1＜x＜

1

a

}；当-1＜a＜0时，解集为{x|x＜

1

a

或x＞-1}；当a＜-1时，解集为{x|x＜-1或x＞

1

a

}；当a=-1时，解集为{x|x≠-1}；

解答： 解：（1）原不等式等价于（x-1）（x-a²）＞0
当a＜-1或a＞1时，a²＞1，不等式的解集为{x}x＜1或x＞a²}；
当-1＜a＜1时，a²＜1，不等式的解集为{x}x＜a²或x＞1}；
当x=±时，a²=1，不等式的解集为{x}x≠1}；
（2）当a=0时，原不等式可化为x+1≥0，可得解集{x|x≥-1}；
当a＞0时，方程（ax-1）（x+1）=0的两根为-1和

1

a

，且-1＜

1

a

，
可得此时不等式的解集为{x|-1＜x＜

1

a

}；
当-1＜a＜0时，方程（ax-1）（x+1）=0的两根为-1和

1

a

，且-1＞

1

a

，
可得此时不等式的解集为{x|x＜

1

a

或x＞-1}；
当a＜-1时，方程（ax-1）（x+1）=0的两根为-1和

1

a

，且-1＜

1

a

，
可得此时不等式的解集为{x|x＜-1或x＞

1

a

}；
当a=-1时，方程（ax-1）（x+1）=0的两根为-1和

1

a

，且-1=

1

a

，
可得此时不等式的解集为{x|x≠-1}；

点评：本题考查分式不等式的解集，涉及分类讨论的思想，属中档题．