Question

已知，f（x）=x³-ax-1．
（1）若f（x）在实数集上单调递增，求a的取值范围．
（2）是否存在实数a，使f（x）在（-1，1）上单调递减，若存在，求a的范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）先求f′（x）=3x²-a，根据已知条件便知f′（x）≥0在x∈R上恒成立，也就得到3x²≥a恒成立．这时候能够求得3x²的最小值为0，从而便有a≤0，从而便求得了a的取值范围；
（2）方法同（1）类似，容易得到3x²≤a在x∈（-1，1）上恒成立，这时可求得3x²∈[0，3），从而便可得到a应满足a≥3，从而得出存在满足条件的实数a，并得出了a的范围．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-a；
若f（x）在实数集上单调递增，则：3x²-a≥0对任意的x∈R恒成立；
∴3x²≥a恒成立；又3x²的最小值为0；
∴0≥a，即a≤0；
∴a的取值范围为（-∞，0]；
（2）根据已知条件，3x²-a≤0在x∈（-1，1）上恒成立；
∴3x²≤a在x∈（-1，1）上恒成立；
x∈（-1，1）时，3x²∈[0，3）；
∴a≥3；
∴符合条件的a存在，范围为[3，+∞）．

点评：考查函数单调性和函数导数符号的关系，以及二次函数ax²的最值及其范围的求解．