Question

15．已知函数f（x）=e^x-e^-x-$\frac{10}{3}$x．
（1）求f（x）的极值：
（2）讨论方程f（x）-m=0的根的个数．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求出其极大值和极小值，（2）根据（1）求出m的范围即可．

解答 解：（1）f（x）=e^x-e^-x-$\frac{10}{3}$x，
f′（x）=e^x+e^-x-$\frac{10}{3}$，
令f′（x）＞0解得：x＞ln3或x＜-ln3，
令f′（x）＜0，解得：-ln3＜x＜ln3，
∴f（x）_极小值=f（ln3）=$\frac{8}{3}$-$\frac{10}{3}$ln3，
f（x）_极大值=f（-ln3）=$\frac{10}{3}$ln3-$\frac{8}{3}$；
（2）由（1）得：
f（x）_极小值=f（ln3）=$\frac{8}{3}$-$\frac{10}{3}$ln3＜0，
f（x）_极大值=f（-ln3）=$\frac{10}{3}$ln3-$\frac{8}{3}$＞0，
m＞$\frac{10}{3}$ln3-$\frac{8}{3}$时，方程有1个根，
m=$\frac{10}{3}$ln3-$\frac{8}{3}$时，方程有2个根，
$\frac{8}{3}$-$\frac{10}{3}$ln3＜m＜$\frac{10}{3}$ln3-$\frac{8}{3}$时，方程有3个根，
m=$\frac{8}{3}$-$\frac{10}{3}$ln3时，方程有2个根，
m＜$\frac{8}{3}$-$\frac{10}{3}$ln3时，方程有1个根．

点评 本题考查了级别不等式的性质，考查导数的应用，函数的单调性问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．