Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，直线l：y=x+2$\sqrt{5}$与椭圆相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过原点O作直线分别交椭圆C于M、N两点，过原点O作OP⊥MN，交椭圆于P，求△PMN面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可设：a=2b，c=$\sqrt{3}$b，椭圆的方程可化为：x²+4y²=4b²．与直线方程联立化为：5x²+16$\sqrt{5}$x+80-4b²=0，利用直线与椭圆相切的性质可得：△=0，解出即可得出．
（2）①MN为椭圆的短轴时，S_△PMN=$\frac{1}{2}•2b•a$．②MN为椭圆的长轴时，S_△PMN=$\frac{1}{2}×2a×b$．③MN不为椭圆的长轴、短轴时，设直线MN的方程为y=kx，OP的方程为：y=-$\frac{1}{k}$x．分别与椭圆方程联立可得：|MN|²=4（x²+y²），|OP|²，${S}_{△PMN}^{2}$=$\frac{1}{4}|MN{|}^{2}|OP{|}^{2}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可设：a=2b，c=$\sqrt{3}$b，∴椭圆的方程可化为：$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，即x²+4y²=4b²．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2\sqrt{5}}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4{b}^{2}}\end{array}\right.$，化为：5x²+16$\sqrt{5}$x+80-4b²=0，
∵直线与椭圆相切，∴△=$（16\sqrt{5}）^{2}$-20（80-4b²）=0，
解得b²=4．
∴$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）①MN为椭圆的短轴时，S_△PMN=$\frac{1}{2}•2b•a$=4×2=8．
②MN为椭圆的长轴时，S_△PMN=$\frac{1}{2}×2a×b$=4×2=8．
③MN不为椭圆的长轴、短轴时，设直线MN的方程为y=kx，OP的方程为：y=-$\frac{1}{k}$x．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，解得：x²=$\frac{16}{1+4{k}^{2}}$，y²=$\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
∴|MN|²=4（x²+y²）=4×$\frac{16+16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
同理可得|OP|²=$\frac{16+16{k}^{2}}{{k}^{2}+4}$，
∴${S}_{△PMN}^{2}$=$\frac{1}{4}|MN{|}^{2}|OP{|}^{2}$=$\frac{1}{4}$×4×$\frac{16+16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$×$\frac{16+16{k}^{2}}{{k}^{2}+4}$=$\frac{256（1+{k}^{2}）^{2}}{（1+4{k}^{2}）（{k}^{2}+4）}$≥$\frac{256（1+{k}^{2}）^{2}}{（\frac{1+4{k}^{2}+{k}^{2}+4}{2}）^{2}}$=$\frac{256×4}{25}$，当且仅当k²=1时取等号．
∴S_△PMN=$\frac{32}{5}$．
∴△PMN面积的取值范围为$[\frac{32}{5}，8]$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、两点之间的距离公式、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于难题．