Question

5．若函数f（x）=x（lnx-ax）在区间（0，e）上有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（　　） （e是自然对数的底数）

• A． $（\frac{1}{2e}，\frac{1}{2}）$
• B． $（0，\frac{1}{2}）$
• C． $（\frac{1}{2e}，+∞）$
• D． $（\frac{1}{e}，\frac{1}{2}）$

Answer 1

分析 求出函数的导数，通过导数判断a的范围，列出不等式组，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：令g（x）=f′（x）=lnx-2ax+1，
则方程g（x）=0在（0，e）上有两个不等实根，
因为$g'（x）=\frac{1}{x}-2a$=0有解，故a＞0，
从而$g'（x）=\frac{1}{x}-2a=\frac{{-2a（x-\frac{1}{2a}）}}{x}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}0＜\frac{1}{2a}＜e\\ g（\frac{1}{2a}）＞0\\ g（e）＜0\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{e}＜a＜\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查函数的导数的应用，二次求导的应用，考查转化思想以及计算能力．