Question

17．将函数f（x）=2sin2x的图象向左平移$\frac{π}{6}$单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，对任意a∈R，y=g（x）在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值20或者21．

Answer 1

分析 根据图象平移变换求出g（x），令g（x）=0可得g（x）可能的零点，而[a，a+10π]恰含10个周期，分a是零点，a不是零点两种情况讨论，结合图象可得g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值；

解答 解：f（x）=2sin2x，
将y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再向上平移1个单位后得到y=2sin2（x+$\frac{π}{6}$）+1的图象，所以g（x）=2sin2（x+$\frac{π}{6}$）+1．
令g（x）=0，得x=kπ+$\frac{5}{12}$π或x=kπ+$\frac{3}{4}$π（k∈z），
因为[a，a+10π]恰含10个周期，所以，当a是零点时，在[a，a+10π]上零点个数21，
当a不是零点时，a+kπ（k∈z）也都不是零点，区间[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有两个零点，故在[a，a+10π]上有20个零点．
综上，y=g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值为21或20．
故答案为：20或者21．

点评 本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、函数的奇偶性、根的存在性及根的个数的判断，考查数形结合思想，结合图象分析是解决（2）问的关键