Question

9．已知函数f（x）对任意的实数满足：$f（x+3）=-\frac{1}{f（x）}$，且当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）²，当-1≤x＜3时，f（x）=x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=336．

Answer 1

分析 由已知可得函数正确为6，再由已知求出f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1，然后利用周期概念得答案．

解答 解：由$f（x+3）=-\frac{1}{f（x）}$，得f（x+3+3）=-$\frac{1}{f（x+3）}$=$-\frac{1}{-\frac{1}{f（x）}}=f（x）$，即f（x+6）=f（x），
∴函数f（x）是周期为6的周期函数，
又当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）²，当-1≤x＜3时，f（x）=x，
∴f（1）=1，f（2）=2，f（3）=f（-3）=-（-3+2）²=-1，f（4）=f（-2）=-（-2+2）²=0，f（5）=f（-1）=-1，f（6）=f（0）=0．
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1，
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=335×1+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=336．
故答案为：336．

点评 本题考查函数周期性的求法，由已知求出函数周期是解答该题的关键，是中档题．