Question

14．已知函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-ax+（a-1）lnx$．
（1）当a=2，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a＞2时，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到曲线的斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程．
（2）求出函数的定义域，求出导函数，判断导函数的符号，然后求解函数的单调区间．

解答 解：（1）当a=2时，$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-2x+lnx$，
∴$f'（x）=x-2+\frac{1}{x}$，∴$f（1）=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}$，f'（1）=0，
∴函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为$y=-\frac{3}{2}$．
（2）由题知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
$f'（x）=x-a+\frac{a-1}{x}$=$\frac{{{x^2}-ax+（a-1）}}{x}=\frac{（x-1）（x+1-a）}{x}$，
令f'（x）=0，解得x₁=1，x₂=a-1，由于a＞2时，所以a-1＞1，
在区间（0，1）和（a-1，+∞）上f'（x）＞0；在区间（1，a-1）上f'（x）＜0，
故函数f（x）的单调递增区间是（0，1）和（a-1，+∞），单调递减区间是（1，a-1）．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．